МИРЭА 2017

Вот вам задачи с последней олимпиады (Миша решил первые 4):

1. Коля заменил в левых частях двух верных равенств одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные цифры на разные буквы. У него получилось следующее:
   П + О + Т + О + Л + О + К = 10
   П + А + Л + А + Т + К + А = 37
   Сколько различных решений имеет эта пара ребусов.
2. Разрежьте квадрат 5х5 по клеточкам на 3 части, у одной из которых площадь больше, чем у других, у второй - периметр больше, чем у других, а у третьей - углов больше, чем у других.
3. На автогонках первой со старта ушла Audi, второй ушла BMW, а третьей стартовала Волга. Известно, что все три машины не оказывались одновременно ни в одном месте трассы. При этом за всё время гонки Audi совершила 13 обгонов, BMW - 5 обгонов, а Волга - 8 обгонов. Сколько раз Волга обгоняла Audi, если трасса не круговая?
4. На доске написано несколько утверждений:
   А) Тут все утверждения ложны;
   Б) Предыдущее утверждение истинно;
   В) Все последующие утверждения ложны;
   Г) Все предыдущие утверждения ложны;
   Д) Тут только одно истинное утверждение;
   Е) Миша любит яблоки.
   Определите, любит ли Миша яблоки.
5. За круглым столом сидят 2018 школьников. Могут ли ровно половина из них сидеть между мальчиком и девочкой?
6. В шатре находится фокусник и 16 коробок, но только в одной из них находится торт, а остальные - пустые. Можно дать фокуснику 100 рублей и узнать, есть ли торт в любом наборе коробок, а фокусник честно ответит. Также можно купить любую коробку за 30 рублей. Какое наименьшее количество рублей потребуется, чтобы добыть коробку с тортом.
7. Имеется клеточная прямоугольная доска 2017х2017. Играют двое. За один ход выбирается клетка, и в неё записывается число k - натуральное или 0. После чего закрашивается сама клетка и по k клеток сверху от неё, снизу, слева и справа (получается закрашенный "крест"). Запрещается делать ход в закрашенную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
8. У аптекаря есть четыре гирьки весом 1г, 2г, 4г и 5г. Также есть "грубые" чашечные весы, которые показывают верное неравенство только в том случае, если разница весов отличается на 3 грамма или больше, а в остальных случаях показывают равенство. Гирьки на вид совершенно одинаковы. Как аптекарю с помощью трёх взвешиваний на этих весах определить две гирьки, суммарная масса которых равна 6г?
9. В компании у каждого человека ровно 4 знакомых и у каждых двух человек ровно один общий знакомый. Сколько человек в этой компании?